很多现实中的网络都具有空间结构，如在线社会网络、邮件网络和移动电话网络等。已有的实证结果发现，这些空间网络中长程连边的概率密度服从指数近似为-1的幂律分布——即便在Facebook、LiveJournal这样的在线社交网络中，我们依然喜欢和距离接近的人交往。早在2000年，Kleinberg通过在方格网络上随机嵌入长边的方法构造了一种经典的社会网络模型（Kleinbergmodel），并证明了幂律指数-1的空间结构能够实现网络的最佳导航[1]。最近，胡延庆等人解释了这种标度律的起源，这种普适的空间结构为了让信息收集达到最优，相关工作2011年发表在PRL上[2]。事实上，已有研究发现，网络空间结构的组织形式能都影响网络的很多重要物理特性。

靴攀渗流（bootstrappercolation）是一大类基于网络的传播过程的代表模型[3]，最早在无序铁磁系统中提出，后来逐渐被物理学家和社会学家所关注。目前，靴攀渗流已经被广泛用来解释很多社会现象，如信息传播、疾病传播、新商品和社会行为的采纳等（但仍然属于有重大科学和社会价值但是价值被严重低估的动力学模型）。举个例子，如果你身边的很多很多朋友都向你推荐一款新产品或一首新歌，你当然要来尝试一下。在这个过程中，局域效应将向全局扩散，最终很多人都会来购买这款产品或试听这首新歌。如今，从靴攀渗流的思想中，已经衍生出了很多经典的观点传播模型和流行病传播模型。

我们的工作是研究无向空间网络上的靴攀渗流，网络中的长边概率密度服从指数可调的幂律分布[4]。当设定极大连通子图的相对规模为序参量时，我们发现了一个参数依赖的幂律指数临界值：当幂律指数大于这个临界值时，靴攀渗流将会出现双相变（double phase transition），包含二级相变（second-orderphase transition）和混合相变（hybrid phase transition）；否则，仅有二级相变出现。更为有趣的是，我们还发现了一个不依赖参数的幂律指数-1，当幂律指数大于-1时，双相变的两个临界阈值（critical point）几乎是常量。值得注意的是，幂律指数-1恰恰就是很多真实社会网络的空间结构。这一工作有助于我们更好的理解社会网络空间结构的自组织过程，不仅仅是信息的最佳收集和导航，更在一定程度上与人类行为的最省力原则有关[5]，这个美妙的原则以一种极简单优美的方式解释了很多我们观察到的标度规律。

我们对于各种相变类型与真实社会经济意义的关系还缺乏深入的理解，如果各位读者朋友能够在这方面给出建议甚至深入研究，会对我们的工作以及相关方向的科学研究提供很大的帮助。

[1]Kleinberg, J. M. Navigation in a small world. Nature 406, 845 (2000).

[2]Hu, Y., Wang, Y., Li, D., Havlin, S. & Di, Z. Possible origin of efficientnavigation in small worlds. Phys. Rev. Lett. 106, 108701(2011).

[3]Baxter, G. J., Dorogovtsev, S. N., Goltsev, A. V. & Mendes, J. F. F.Bootstrap percolation on complex networks. Phys. Rev. E 82,011103 (2010).

[4]Gao, J., Zhou, T. & Hu, Y. Bootstrap percolation on spatial networks. Sci.Rep. 5, 14662 (2015).

[5]Zipf, G. K. Human behavior and the principle of least effort (Oxford Press,Oxford, 1949).

论文信息：

JianGao, Tao Zhou, Yanqing Hu. Bootstrap Percolation on Spatial Networks. ScientificReports, 2015, 5: 14662.

论文链接(全文免费下载)：

http://www.nature.com/articles/srep14662