频域滤波补零延拓及滤波器循环移位例析
文/彭真明
由于时域滤波属于有限序列的线性卷积，频域滤波方式实际上是利用离散傅里叶变换（DFT）求时域线性卷积的过程，而DFT本质上是对应时域滤波中针对周期序列的循环卷积。因此，频域滤波中信号及滤波器需要在时域进行补零延拓（padding），且滤波器延拓后还要做循环移位（circularly shift）。
利用时域线性卷积滤波，滤波器与信号长度可以不一致。设
信号：x = [1 2 3 4 5]，长度为m = 5。
滤波器：h = [1 2 3]，长度为n = 3。
时域线性卷积为：
y = conv(x,h) = [1 4 10 16 22 22 15]
去掉边界元素：
y =conv(x,h,’same’) = [4 10 16 22 22]
以上则为时域滤波结果。
如果做时域循环卷积，则滤波器h与信号x长度必须保持一致，且长度L≥m+n–1。本例中，两者长度至少为7。采用补零延拓方法，即
xp = [1 2 3 4 5 0 0]
hp = [1 2 3 0 0 0 0]
时域循环卷积为：
yp = conv(xp,hp) = [1 4 10 16 22 22 15 0 0 0 0 0 0]
取主值序列有：
yp(1:7) = [1 4 10 16 22 22 15]
可以看出，循环卷积可以求出线性卷积的结果。
由于循环卷积可以利用DFT在频域实现，即
yf = real(ifft(fft(xp).*fft(hp))) = [1 4 10 16 22 22 15]
去掉边界元素，得到滤波结果为：
yf = yf(1:5) = [1 4 10 16 22]
这与空域结果不一致。实际上，yf(2:6)才是一致的。
为了从起始点截取滤波结果的有效值，对滤波器补零延拓后的hp做循环移位，有
hp = [2 3 0 0 0 0 1]
此时，频域滤波结果为：
yf = real(ifft(fft(xp).*fft(hp))) = [4 10 16 22 22 15 1]
去掉边界元素，最后得到频域滤波结果为：
yf = yf(1:5) = [4 10 16 22 22]
可以看出，与空域线性卷积完全保持一致。
实际应用中，为了便于提升FFT的计算效率，频域滤波常将信号及滤波器延拓至信号的2倍长度，或2的整数幂。
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