在自然界和人类社会中，疾病、行为和信息的传播往往不是互相独立的。例如，在感染了HIV病毒后，人类对一些其它病毒的免疫力会下降[1]。又例如，社交网络上流行病的相关信息传播能够抑制现实中的流行病传播[2]。为了更好的理解，预测和干预真实世界中的传播过程，我们需要考虑不同传播过程之间的耦合[3]。

耦合SIS模型是最为基本的耦合传播模型之一。简单来说，考虑两个SIS类型的传播过程1和2。在传播过程1的传播中，如果某个节点尚未被2感染，那么该节点被1感染的概率为 λ₁ ;与此同时，如果该节点已经被2感染，那么其被1感染的概率为λ⁺₁。如果λ⁺₁>λ₁ 那么2对1有促进的作用；反之，则有抑制的作用。类似地，我们可以对传播过程2定义λ₂ 和λ⁺₂ 。耦合传播过程能够表现出丰富的动力学行为。例如，当两个传播过程互相促进时，我们能够观察到一级或者爆发相变[4]。

迄今为止，耦合传播过程的理论分析方法仍有待进一步的发展。在个体间均匀混合的情形下，我们能够比较完整地分析耦合传播过程的动力学行为[5]。在考虑网络结构的情形下，研究者发展了基于渗流，退火平均场，淬火平均场，点对近似等理论的分析方法。基于这些平均场方法，我们能够得到一组非线性的微分方程。然而，对这些方程组的分析很大程度上仍依赖于数值分析。由于耦合传播模型一般参数较多，因此通过数值计算完整的相图相对缓慢。更为重要的是，仅通过数值分析难以对耦合传播动力学相变行为有一个整体和直观的认识。

图1. 耦合SIS模型的部分相图。(a)在λ⁺₁ -λ⁺₂平面上，磁滞回线出现的条件。(b) 在没有磁滞回线时（对应图(a)中的点b），在λ₁ -λ₂平面上的相图 。(c)   在出现磁滞回线时（对应图(a)中的点c），在λ₁ -λ₂平面上的相图

在近期的一篇文章中[6]，研究者们给出了耦合SIS模型的完整相图，如图1所示。通过谱降维方法[7]，作者将耦合SIS模型的淬火平均场方程转换成二维的宏观观测量的方程。通过对宏观观测量方程进一步的分析，从而给出了各类相变的相变点和相变出现的条件。这一方法成功预测了以前仅通过数值发现的临界现象，例如非连续相变和磁滞现象的联系，以及三相点的涌现。文章的研究结果为理解耦合传播过程以及为传播过程的干预奠定了一定的理论基础。

文章链接：

https://journals.aps.org/prresearch/abstract/10.1103/PhysRevResearch.2.023233

文章信息：

L. Pan, D. Yang, W. Wang, S. Cai, T. Zhou, Y.-C. Lai, Phase diagrams of interacting spreading dynamics in complex networks, Physical Review Research 2 (2020) 023233.

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参考文献

[1]  L. J. Abu-Raddad, P. Patnaik, and J. G. Kublin, Dual infection with HIV and malaria fuels the spread of both diseases in sub-Saharan Africa, Science 314, 1603 (2006).

[2]  S. Funk, E. Gilad, C. Watkins, and V. A. Jansen, The spread of awareness and its impact on epidemic outbreaks, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 106, 6872 (2009).

[3] W. Wang, Q.-H. Liu, J. Liang, Y. Hu, and T. Zhou, Coevolution spreading in complex networks, Phys. Rep. 820, 1 (2019).

[4] W. Cai, L. Chen, F. Ghanbarnejad, and P. Grassberger, Avalanche outbreaks emerging in cooperative contagions, Nat. Phys. 11, 936 (2015).

[5]  L. J. Abu-Raddad, B. I. S. Van der Ventel, and N. M. Ferguson, Interactions of Multiple Strain Pathogen Diseases in the Presence of Coinfection, Cross Immunity, and Arbitrary Strain

Diversity, Phys. Rev. Lett. 100, 168102 (2008).

[6] L. Pan, D. Yang, W.  Wang, S. Cai, T. Zhou, and Y. C. Lai, Phase diagrams of interacting spreading dynamics in complex networks. Phys. Rev. Res., 2(2), 023233 (2020).

[7]  E. Laurence, N. Doyon, L. J. Dubé, and P. Desrosiers, Spectral Dimension Reduction of Complex Dynamical Networks, Phys. Rev. X 9, 011042 (2019).