Zipf定律是Zipf在1949年的一本关于人类定位的最小作用原理的书中首先提出的，其中最令人难忘的例子是在人类语言中，如果以单词出现的频次将所有单词排序，用横坐标表示序号，纵坐标表示对应的频次，可以得到一条幂函数曲线。这个定律被发现适用于大量复杂系统。Heaps定律是Heaps在1978年一本关于信息挖掘的专著中提出的。事实上，他观察到在语言系统中，不同单词的数目与文本篇幅（所有出现的单词累积数目）之间存在幂函数的关系，其幂指数小于1。

很多复杂系统同时满足Zipf定律和Heaps定律，但是对于两者关系，学术界存在长期争论。通过一些随机过程模型，有些学者（Baeza-Yates, Navarro, Leijenhorst, Weide, Serrano, Flammini, Menczer）认为Zipf定律是本质的，Heaps定律是衍生的，可以从Zipf定律推出；有些学者（Zanette, Moutemurro）认为Heaps定律是本质的，Zipf定律是衍生的；有的学者认为这两种定律相互独立。我们不依赖于任何随机过程，证明了Zipf定律更本质，而Heaps定律是衍生律。进一步地，我们证明了以前的两个定律指数之间的解析关系，只是在Zipf指数远大于1或远小于1或系统规模无穷大的时候的一种渐进解。遗憾的是，真实系统不满足三种条件中的任何一种。我们提出了新的解析方法，得到了更精确的解析结果，在35个真实数据中进行验证，发现有34个数据新结果都好于以前的结果。

这篇文章提供了对于复杂系统演化规律的有价值的见解，厘清了两个著名定律之间的因果关系。本文的结果有非常广泛的应用，对很多重要的现象提出了有力的解释。例如可以从全新的观点解释无标度网络加速增长的原因——无标度网络要保持标度指数的稳定必须采用加速增长的方式（具体参考论文）。这篇文章原创性的想法由琳媛提出，经我改良，由琳媛完成所有解析推导，子柯收集并处理分析所有真实数据，我程序实现随机过程模型进行验证。文章结构经大家讨论后，由我执笔完成撰写。

论文信息：Linyuan Lü, Zi-Ke Zhang, Tao Zhou, “Zipf’s Law Leads to Heaps’ Law: Analyzing Their Relation in Finite-Size Systems”, PLoS ONE 5 (2010) e14139.

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